근무조건(시간) 변동에 응하지 않는 이유로 해고 통보(구두)

2020년 5월 1일 근로시간 오전 9시~오후3시로 근로계약을 맺고(근로계약서상 명시 되어 있음) 현재 근무중입니다. (정규직 계약이며, 근로계약기간 역시 정해지지 않은 계약입니다)

초등학교 1학년, 5살(2021년 기준) 두 아이를 키우고 있어 일 8시간 근무가 어려워 시간제근로+정규직인 직장을 몇 달동안 찾고 찾다가 겨우 찾아 입사한 곳이라, 면접 당시 협의된 내용 외의 근무도 성실이 임하던 중 갑작스레 5시까지 근무할 직원이 필요하다며 저를 정리하겠다는 대표의 말을 들었습니다.

저는 올해 초 그러한 대표의 생각(5시까지 일할 직원이 있으면 좋겠다는)을 알고 초등학교에 입학하는 아이 학교에 돌봄 신청도 넣어보고 여러 방법을 강구해보았으나 돌봄은 떨어지고 학원을 두군데를 보내도 아이가 집에 오는 시간이 4시~4시 30분이라 도무지 불가능하며 양가 부모님 역시 거주지가 아이 학교와 멀어 그조차도 방법이 없음을 죄송한 마음을 표하며 말씀드렸고 내년 2학년때 돌봄 추첨이 되면 그 때 다시 5시 근무에 대해 논의해봐주시길 간청드려 받아드려진 상황이었습니다.
그러나 갑작스레 이제는 5시까지 일할 직원이 필요하다고 합니다.

더군다나 5시까지 일할 직원이 필요한 이유는 제가 하는 업무가 3시 내에 정상적으로 이뤄질 수 없어서가 아닌, 현재 대표가 진행하고 있는 본인의 업무들을 가져가 일임해줄 사람이 필요해서 이며, 저는 1년이 넘는 재직기간중 회사에 손해를 끼칠 일을 한 적이 없습니다. (회계, 관리직인데 세금 신고등을 누락한 적 없으며 대표의 업무 지시에 응하기 위해 퇴근 후에도 업무처리를 한 적이 다수 있으며 연차 중 회사에 걸려오는 민원 전화를 받은 횟수도 다수입니다)

저는 이것이 부당해고라는 입장인데 대표는 자꾸 저의 근무시간 조정이 힘든것을 이유로 들어 부당해고가 아닌 경영상 퇴직권고라는 입장입니다. 제가 해고하시는거냐 여쭙자, 네가 그런식으로 얘기한다면 나도 법리적으로 준비를 해야겠지. 라며 압박을 주는 말을 하기도 합니다.

이것이 정말 부당해고가 아닌지. 부당해고가 맞다면 어떤 절차로 구제 받을 수 있는지 궁금합니다.
더불어 현재 대표는 해고 통지서는 고사하고, 저에게 퇴직일 조차 명시하지 않습니다. 이미 채용공고는 등록된 상태이고 새로운 직원이 입사하면 저는 인수인계 후 제 자리를 물러나야하는데 어찌 할 바를 모르겠습니다.

중노위에서는 해고 통지를 서면으로 할 때까지 버티면 된다는데 그게 상식적인 이야기 일까요?
대표는 이미 두 달 전부터 본인이 업무로 인해 (제 업무가 아닙니다. 대표가 일임하고 있는 업무) 스트레스가 과중 될 때마다 근로자인 저를 피 말리듯 이 이야기를 꺼내고 있습니다. 벌써 세번째 이고요. 앞선 두번은 제가 아무말 하지 않자 어영부영 그냥 그런 생각을 하고 있다 정도였고 세번째 같은 말을 들은 제가, 이 상황을 명확히 하고자 해고하신다는 말씀이냐 라는 질문에 불같이 화를 내고 있는데요. 부디 적합한 방안을 이야기 해주시길 부탁드립니다.